Question

2．如图，已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，△ABC是边长为2的正三角形，AP=BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PC=$\sqrt{2}$且N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，O为线段AB的中点，
（1）求证：NM∥平面PAD；
（2）求证：直线PO⊥平面ABCD；
（3）在线段BC上是否存在一点K，使得AK⊥PD？若存在求出点K的具体位置并证明，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由四边形ABCD为菱形，得对角形AC与BD交于点N，MN∥PD，即可证明MN∥平面PAD．
（2）取AB中点O，连结OP，OC，由勾股定理得PO⊥OC，从而PO⊥平面ABCD．
（3）以OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设$\overrightarrow{BK}$=λ$\overrightarrow{BC}$，利用向量法能求出求出点K的具体位置．

解答 证明：（1）连结BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴对角形AC与BD交于点N，连结MN，
∵N为线段AC的中点，M为侧棱PB的中点，
∴MN∥PD，
∵MN?平面PAD，PD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）取AB中点O，连结OP，OC，
∵PA=PB，PO⊥AB，△POC中，OC=$\sqrt{3}$，OP=1，PC=2，
∴OC²+OP²=PC²，
∴PO⊥OC，
又OC∩AB=O，
∴PO⊥平面ABCD．
解：（3）如图，以OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，1），D（$\sqrt{3}$，-2，0），
取线段BC上的一点K，连接AK，设$\overrightarrow{BK}$=λ$\overrightarrow{BC}$，
则有：$\overrightarrow{BK}$=（$\sqrt{3}$λ，-λ，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AK}$=（$\sqrt{3}λ$，2-λ，0），$\overrightarrow{DP}$=（-$\sqrt{3}$，2，1），
∵AK⊥PD，则$\overrightarrow{AK}$•$\overrightarrow{DP}$=$\sqrt{3}λ$×（-$\sqrt{3}$）+（2-λ）×2+0×1=0，
解得：λ=$\frac{4}{5}$，
即在线段BC上是存在一点K，当设$\overrightarrow{BK}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$时，使得AK⊥PD．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查空间直角坐标系的应用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．