Question

已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（　　）

• A、xy+

  4

  x+2y

  有最小值4
• B、xy+

  4

  x+2y

  有最小值3

  2

• C、x+2y+

  4

  xy-7

  有最小值11
• D、xy-7+

  4

  x+2y

  有最小值11

Answer 1

考点：基本不等式

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，由x、y为正数知x＞2，可得xy=

x2

x-2

的范围，把选项中的x+2y替换为xy，令xy=t，利用函数的单调性可排除A、B、C；利用基本不等式可判断C的正确性．

解答： 解：由x+2y=xy，得y=

x

x-2

，
由x、y为正数知，x＞2，
xy=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4≥2

(x-2)• 4 x-2

+4=8，
当且仅当x-2=

4

x-2

，即x=4时取等号，
∴xy的范围是[8，+∞）．
令t=xy，则t≥8，t+

4

t

在[8，+∞）单调递增，
∴t+

4

t

的最小值为8+

4

8

=

17

2

．排除A、B；
x+2y+

4

xy-7

=xy-7+

4

xy-7

+7≥2

(xy-7)• 4 xy-7

+7=11，
当且仅当

xy-7= 4 xy-7 x+2y=xy

，即

x=3 y=3

或

x=6 y= 3 2

时取等号，
∴x+2y+

4

xy-7

的最小值为11故C正确；
xy-7+

4

x+2y

=xy-7+

4

xy

，令t=xy，则t≥8，
由上知t-7+

4

t

在[8，+∞）上单调递增，∴t-7+

4

t

的最小值为8-7+

4

8

=

3

2

，排除D．
故选：C．

点评：该题考查利用基本不等式求函数的最值、函数单调性的应用，属中档题，对条件合理变形，正确得到xy的范围是解题关键．