Question

已知x，y满足0≤x≤

4-y2

，则

y-2

x-3

的取值范围是

[0，

12

5

]

．

Answer 1

分析：借助已知动点在半圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在半圆上动点M与定点N（3，2）连线的斜率，求得过点N的切线的斜率，数形结合进而求解．

解答：解：由 x，y满足0≤x≤

4-y2

，
可得 x²+y²≤4，x≥0．
故满足条件的点（x，y）在半圆：x²+y²≤4 （x≥0）是如图所示的半圆面：
而

y-2

x-3

表示半圆上的点M（x，y）与点 N（3，2）
连线的斜率k，
显然k存在．
设半圆的切线方程为 y-2=k（x-3），即 kx-y+2-3k=0，
则由圆心O（0，0）到切线的距离等于半径可得

|2-3k|

k2+1

=r=2，
求得k=0，或 k=

12

5

，
数形结合可得k的范围为[0，

12

5

]，
故答案为[0，

12

5

]．

点评：此题重点考查了斜率公式，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化、数形结合的思想，属于中档题．