Question

直线l过点（0，1），并与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）相交于不同的A、B两点，离心率为2，右焦点F（c，0）到右准线的距离等于

3

2

．
（1）求双曲线方程；    
（2）求AB的长度；
（3）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a =2 c- a2 c = 3 2 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线方程．
（2）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；
（3）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值

解答： 解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）离心率为2，
右焦点F（c，0）到右准线的距离等于

3

2

，
∴

c a =2 c- a2 c = 3 2 c2=a2+b2

，解得a2=

1

3

，b2=1，c2=

4

3

，
∴双曲线方程为3x²-y²=1．
（2）∵直线l过点（0，1），
∴设直线l的方程为y=kx+1，
联立

y=kx+1 3x2-y2=1

，消去y，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
∵直线l双曲线C：3x²-y²=1相交于不同的A、B两点，
∴

3-k2≠0 △=4k2+8(3-k2)＞0

，解得k²＜6，且k²≠3，
x1+x2=

2k

3-k2

，x1x2=

-2

3-k2

，
|AB|=

1+k2

•

( 2k 3-k2 )2-4• -2 3-k2

=

2 -k4+5k2+6

|k2-3|

，k²＜6，且k²≠3．
（3）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则k_OA•k_OB=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）
=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=

-2-2k2

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，
解得k=±1．
∴存在实数k=±1，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

点评：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．