Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，根据新函数的最值即可证得结论；

（2）对函数求导，分情况求的取值范围.

（1）当时，.

所以.

设，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以.

（2）因为，

所以，在上，

①当，，若，则，若，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以由题意得，解得，

所以.

②当时，，若，则，若，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以由题意得，解得，所以.

③当时，

（i）当时，，若，则，若，则，若，则，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以由题意得所以所以；

（ii）当时，在上恒成立，所以在上单调递增，

所以，所以满足题意；

（iii）当时，，

易得函数在，上单调递增，在上单调递减，

所以由题意得所以所以.

综上，实数的取值范围为.