Question

5．已知a＞0，x＞a，y＞a．求证：$\sqrt{（x+a）（y+a）}$+$\sqrt{（x-a）（y-a）}$≤2$\sqrt{xy}$．

Answer 1

分析 利用分析法，分析使不等式成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．

解答 证明：要证明：$\sqrt{（x+a）（y+a）}$+$\sqrt{（x-a）（y-a）}$≤2$\sqrt{xy}$，
只要证明：xy+ax+ay+a²+xy-ax-ay+a²+2$\sqrt{（{x}^{2}-{a}^{2}）（{y}^{2}-{a}^{2}）}$≤4xy，
只要证明：$\sqrt{（{x}^{2}-{a}^{2}）（{y}^{2}-{a}^{2}）}$≤xy-a²，
只要证明：x²y²-a²x²-a²y²+a⁴≤x²y²-2a²xy+a⁴，
只要证明：a²x²+a²y²≥2a²xy，
只要证明：x²+y²≥2xy，
只要证明：（x-y）²≥0，
显然成立，
所以$\sqrt{（x+a）（y+a）}$+$\sqrt{（x-a）（y-a）}$≤2$\sqrt{xy}$．

点评 本题考查的知识点是不等式的证明，基本不等式．用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件．