Question

4．某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．

组号	分组	频数	频率
第1组	[160，165）	5	0.050
第2组	[165，170）	a	0.350
第3组	[170，175）	30	b
第4组	[175，180）	20	0.200
第5组	[180，185]	10	0.100
合计		100	1.00

（Ⅰ）求出频率分布表中a，b的值，再在答题纸上完成频率分布直方图；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本成绩的中位数；
（Ⅲ）高校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，再从6名学生中随机抽取2名学生由A考官进行面试，求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布表，能求出a，b，由此能作出频率分布直方图．
（Ⅱ）求出[160，170）的频率，[170，175）的频率为0.3，由此能求出样本成绩的中位数．
（Ⅲ）第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，由此列举法能求出第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布表，得：
a=100×0.35=35，
b=$\frac{30}{100}$=0.30．
频率分布直方图为：

（Ⅱ）∵[160，170）的频率为0.05+0.35=0.4，[170，175）有频率为0.3，
∴样本成绩的中位数为：170+$\frac{0.5-0.4}{0.3}×5$=$\frac{515}{3}$．
（Ⅲ）∵第3、4、5组共有60名学生，
∴利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：$\frac{30}{60}×6=3$人，第4组：$\frac{20}{60}×6=2$人，第5组：$\frac{10}{60}×6=1$人，
∴第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
设第3组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第4组的2位同学为B₁，B₂，第5组的1位同学为C₁，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，C₁），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），
第4组至少有一位同学入选的有9种可能，
∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为p=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题频率分布表、频率分布直方图的应用，考查中位数、概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．