Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=-1，na_n+1=S_n+n（n+1）（n∈N^*），S_n是数列\{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）na_n+1=S_n+n（n+1）（n∈N^*），n≥2时，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），相减可得：a_n+1-a_n=2，又a₁=-1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）na_n+1=S_n+n（n+1）（n∈N^*），n≥2时，（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），
∴na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，化为：a_n+1-a_n=2，又a₁=-1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为-1．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$-\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-6}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=-$\frac{1}{3}$+$2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$=-$\frac{1}{3}+$2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$，
可得：T_n=-$\frac{n}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．