Question

4．光明商店销售某种商品，每件商品的进价是60元，销售过程中发现：当每件商品售价75元时，每天可售出85件，如果每件商品售价90元时，则每天可售出70件．假设每天售出的商品件数p（件）与每件售价x（元）之间的函数关系为p=kx+b（每件售价不低于进价，且货源充足）．
（1）求出p与x之间的函数关系式．
（2）设每天的利润是y（元），若不考虑其他费用，则每件定价为多少时每天的利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）利用题意得到关于实数k，b的方程组，求解方程组即可求得最终结果；
（2）结合（1）的结论得到利润函数，然后结合二次函数的性质即可确定利润的最大值．

解答 解：（1）由题意可得：一次函数p=kx+b过点（75，85），（90，70），
据此可得：$\left\{\begin{array}{l}{75k+b=85}\\{90k+b=70}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=160}\end{array}\right.$，
即p与x之间的函数关系式为：p=-x+160．
（2）由题意结合（1）的结论可得利润函数为：
y=（x-60）（-x+160）=-x²+220x-9600，
结合二次函数的性质可得，当 $x=-\frac{220}{2×（-1）}=110$元时，
有最大利润：y=-110²+220×110-9600=2500 元．

点评 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，利润最大问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．