Question

14．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+$\sqrt{3}$bsinA=c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，求b+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，边化角，根据三角形内角和定理，即可求角A的大小；
（Ⅱ）a=1，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，利用向量的夹角公式即可求解b+c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵acosB+$\sqrt{3}$bsinA=c．
由正弦定理：可得sinAcosB+$\sqrt{3}$sinBsinA=sinC=sin（A+B）
即sinAcosB+$\sqrt{3}$sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB
∴$\sqrt{3}$sinBsinA=cosAsinB
∵0＜B＜π，sinB≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA
即tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3，
可得：$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA=3$．
即bccosA=3
可得：bc=2$\sqrt{3}$
∵a=1，
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2cbcosA．
可得7=b²+c²．
即（b+c）²-2bc=7
∴b+c=$\sqrt{3}+2$．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力．属于中档题．