Question

18．已知函数$f（x）=x+\frac{9}{x}$
（1）利用函数单调性的定义证明：函数在（0，3]上单调递减．
（2）求函数在[1，2]上的值域．
（3）判断函数的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）结合函数的单调性，求出函数的最值，从而得到函数的值域；（3）根据函数的奇偶性的定义证明即可．

解答 （1）证明：设 0＜x₁＜x₂＜3，则 f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{9}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{9}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）-$\frac{9{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂） （1-$\frac{9}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）．
由0＜x₁＜x₂，可得（x₁-x₂）＜0，（1-$\frac{9}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
∴（x₁-x₂） （1-$\frac{9}{{{x}_{1}x}_{2}}$）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数在（0，3）上单调递减．
（2）解：由（1）得：f（x）在[1，2]上单调递减，
∴f（x）_最小值=f（2）=$\frac{13}{2}$，f（x）_最大值=f（1）=1+9=10，
故函数在[1，2]上的值域是：[$\frac{13}{2}$，10]．
 （3）证明：∵函数的定义域关于原点对称，且函数f（x）=x+$\frac{9}{x}$，x≠0 满足
∴对任意的非零实数x，都有 f（-x）=-x+$\frac{9}{-x}$=-（x+$\frac{9}{x}$）=-f（x），
函数f（x），x≠0是奇函数．

点评 本题考查了函数的单调性的证明，考查函数的值域问题，考查函数的奇偶性，是一道中档题．