Question

8．（1）求垂直于直线x+y-1=0且与两坐标轴围成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$的直线方程：
（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，-5）到它的距离相等的直线方程．

Answer 1

分析 （1）根据垂直关系求出直线的额斜率，得到它在坐标轴上的截距，根据与两坐标轴围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$，求出截距，即得直线方程．
（2）由题意，所求直线经过点A（2，3）和B（0，-5）的中点或与点A（2，3）和B（0，-5）所在直线平行，分别求出直线方程即可．

解答 解：∵直线方程x+y-1=0，
∴直线的斜率k=-1，
则垂直直线x+y-1=0的斜率k=1，
设所求直线的方程为y=x+b，
∴直线在x轴上的截距为-b，在y轴上的截距为b，
∵与l垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|b||-b|=$\frac{1}{2}$，
即b²=1
解得b=±1，
∴所求的直线方程为y=x+1或y=x-1．
（2）所求直线经过点（2，3）和（0，-5）的中点或与点（2，3）和（0，-5）所在直线平行．
①直线经过点A（2，3）和B（0，-5）的中点（1，-1）时，直线方程为x=1；
②当A（2，3），B（0，-5）在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，
∵k_AB=4，∴y-2=4（x-1），即4x-y-2=0
所以满足条件的直线为4x-y-2=0或x=1

点评 本题考查直线方程的求法以及三角形面积的计算，解题时要认真审题，注意直线性质的合理运用．