Question

18．已知函数f（x）=lnx，x∈（1，+∞）的图象在点（x₀，lnx₀）处的切线为l，若l与函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²的图象相切，则x₀必满足（　　）
（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）

• A． 1＜x₀＜$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$＜x₀＜2
• C． 2＜x₀＜3
• D． 3＜x₀＜4

Answer 1

分析 求出函数f（x）=lnx的导数，g（x）=$\frac{1}{2}$x²的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得$\frac{1}{{x}_{0}}=m$，$-\frac{1}{2}{m}^{2}$=lnx₀-1，再由零点存在定理，即可得到所求x₀范围．

解答 解：函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
在点（x₀，lnx₀）处的切线的斜率为k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
切线方程为y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀）（x₀＞1），
设切线与g（x）=$\frac{1}{2}$x²相切的切点为（m，$\frac{1}{2}{m}^{2}$），
即有g（x）=$\frac{1}{2}$x²的导数为g′（x）=x，
可得$\frac{1}{{x}_{0}}=m$，切线方程为y-$\frac{1}{2}{m}^{2}$=m（x-m），
令x=0，可得y=$-\frac{1}{2}{m}^{2}$=lnx₀-1，
由m=$\frac{1}{{x}_{0}}$，可得$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$+lnx₀-1=0，
令f（x）=$\frac{1}{2x}+lnx-1$，x＞1，
f′（x）=$\frac{-1+2x}{2{x}^{2}}$＞0，f（x）在x＞1递增，
且f（2）=$\frac{1}{4}$+ln2-1＜0，f（3）=$\frac{1}{6}$+ln3-1＞0，
则有$\frac{1}{2{{x}_{0}}^{2}}$+lnx₀-1=0的根x₀∈（2，3）．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．