Question

16．设等比数列{a_n}的公比为q，T_n是其前n项的乘积，若25（a₁+a₃）=1，a₅=27a₂，当T_n取得最小值时，n=6．

Answer 1

分析 利用等比数列通项公式和前n项公式求出首项和公比，从而求出${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{250}$，由此能求出当T_n取得最小值时，n的值．

解答 解：∵等比数列{a_n}的公比为q，T_n是其前n项的乘积，若25（a₁+a₃）=1，a₅=27a₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{25（{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}）=1}\\{{a}_{1}{q}^{4}=27{a}_{1}q}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{250}$，q=3，
∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n-1}}{250}$，
当a_n=$\frac{{3}^{n-1}}{250}$≥1时，n＞7，${a}_{6}=\frac{243}{250}$＜1，
∴当T_n取得最小值时，n=6．
故答案为：6．

点评 本题考查等比数列的前n项的乘积最小项数n的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．