Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB与底面ABCD垂直，△PAB为正三角形，AB⊥AD，CD⊥AD，点E、M分别为线段BC、AD的中点，F、G分别为线段PA、AE上一点，且AB=AD=2，PF=2FA．
（1）当AG=2GE时，求证：FG∥平面PCD；
（2）试问：直线CD上是否存在一点Q，使得平面PAB与平面PMQ所成锐二面角的大小为30°，若存在，求DQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在线段AD上取一点N，使得DN=2AN，易知ME∥CD，∴NG∥CD．
即平面FNG∥平面PCD，FG∥平面PCD；
（2）取AB的中点为O，连接PO，可得PO⊥面ABCD，
故以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），M（1，1，0），设Q（t，2，0），$\overrightarrow{PM}=（1，1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PQ}=（t，2，-\sqrt{3}$）利用向量方法求解．

解答 解：（1）证明：在线段AD上取一点N，使得DN=2AN，
∵PF=2FA，∴FN∥PD
由∵M为AD中点，∴$AN=\frac{2}{3}AM$，
∵AG=2GE，NG∥ME，又易知ME∥CD，∴NG∥CD．
又FN∩NG=N，∴平面FNG∥平面PCD，而FG?平面FNG
∴FG∥平面PCD
（2）取AB的中点为O，连接PO，∵，△PAB为正三角形，∴PO⊥AB．
又侧面PAB与底面ABCD垂直，∴PO⊥面ABCD
故以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），M（1，1，0），设Q（t，2，0），
$\overrightarrow{PM}=（1，1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PQ}=（t，2，-\sqrt{3}$）
设平面PMQ的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=0.\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=0$，得x+y-$\sqrt{3}z$=0，tx+2y-$\sqrt{3}z=0$
可取$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}（1-t），2-t）$
可取平面PAB的法向量为$\overrightarrow{m}=（0，1，0）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\sqrt{3}|1-t|}{\sqrt{3+3（1-t）^{2}+（2-t）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得t=3，
故存在点Q，且DQ=3．

点评 本题考查了空间线面平行的判定，向量法处理动点问题，向量法求二面角，属于中档题．