Question

2．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²（1+3sin²θ）=4．
（Ⅰ）求曲线C的参数方程；
（Ⅱ）若曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，在曲线C上任取一点P，且点P在第一象限，求四边形OAPB面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，求了曲线C的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．由此能求出曲线C的参数方程．
（Ⅱ）求出A（2，0），B（0，1），设$P（2cosφ\;，\;\;sinφ）\;，\;\;0＜φ＜\frac{π}{2}$．则${S_{△POB}}=\frac{1}{2}×1×2cosφ=cosφ\;，\;\;{S_{△POA}}=\frac{1}{2}×2×sinφ=sinφ$，从而四边形OAPB面积${S_{OAPB}}=cosφ+sinφ=\sqrt{2}sin（φ+\frac{π}{4}）∈（1\;，\sqrt{2}]$，由此能求出四边形OAPB的面积取最大值．

解答 （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ²（1+3sin²θ）=4，
即ρ²（sin²θ+cos²θ+3sin²θ）=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得到曲线C的直角坐标方程为x²+4y²=4，即$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．…（5分）
（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，
∴由已知可得A（2，0），B（0，1），
设$P（2cosφ\;，\;\;sinφ）\;，\;\;0＜φ＜\frac{π}{2}$．
则${S_{△POB}}=\frac{1}{2}×1×2cosφ=cosφ\;，\;\;{S_{△POA}}=\frac{1}{2}×2×sinφ=sinφ$，
所以四边形OAPB面积${S_{OAPB}}=cosφ+sinφ=\sqrt{2}sin（φ+\frac{π}{4}）∈（1\;，\sqrt{2}]$．
当$φ=\frac{π}{4}$时，四边形OAPB的面积取最大值$\sqrt{2}$． …（10分）

点评 本题考查曲线的参数方程的求法，考查四这形面积的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．