Question

10．已知直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．则圆的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，直线l和圆C的位置关系为相交（填相交、相切、相离）．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；圆C的极坐标方程转化为ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），由此能求出圆C的直角坐标方程．
（2）求出圆心C（1，1）到直线l的距离d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜$\sqrt{2}$=r，由此得到直线l和圆C相交．

解答 解：（1）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1．
圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
∴圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）圆心C（1，1）到直线l的距离d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜$\sqrt{2}$=r，
∴直线l和圆C相交．
故答案为：（x-1）²+（y-1）²=2；相交．

点评 本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．