Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=$\sqrt{2}$，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥面ABB₁A₁
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁
（Ⅱ）若OC=OA，求二面角A-BC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DB⊥AB₁，CD⊥AB₁，从而AB₁⊥平面BDC，由此能证明AB₁⊥BC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OA、OD、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BC-B₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由△AB₁B与△DBA相似，知DB⊥AB₁，
又CD⊥平面ABB₁A₁，∴CD⊥AB₁，
∴AB₁⊥平面BDC，∴AB₁⊥BC．---（6分）
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，OA、OD、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B（0，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），C（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），B₁（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，0），
$\overrightarrow{BC}$=（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$，0），
设平面ABC，平面BCB₁的法向量分别为$\overrightarrow{n}=（x，y，z），\overrightarrow{m}=（a，b，c）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{6}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{6}}{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-1，\sqrt{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{m}=\frac{\sqrt{6}}{3}b+\frac{\sqrt{3}}{3}c=0}\\{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{m}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{6}}{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，-2），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2\sqrt{70}}{35}$，
∴二面角A-BC-B₁的余弦值为-$\frac{2\sqrt{70}}{35}$．-----（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．