Question

13．已知函数f（x）=x³-ax²+4有两个正零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞1
• B． a＞$\frac{3}{2}$
• C． a＞2
• D． a＞3

Answer 1

分析 计算f（x）的极值点和极值，对a进行讨论判断f（x）的零点个数得出答案．

解答 解：f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0得x=0或x=$\frac{2a}{3}$，
（1）若a=0，则f′（x）≥0，f（x）为增函数，则f（x）只有一个零点，不符合题意；
（2）若a＞0，则当x=0时，f（x）取得极大值4，当x=$\frac{2a}{3}$时，f（x）取得极小值4-$\frac{4{a}^{3}}{27}$．
∵f（x）有两个正零点，
∴4-$\frac{4{a}^{3}}{27}$＜0，解得a＞3；
（3）若a＜0，则当x=0时，f（x）取得极小值4，当x=$\frac{2a}{3}$时，f（x）取得极大值4-$\frac{4{a}^{3}}{27}$．
∴f（x）只有一个负零点，不符合题意；
综上，a的取值范围是（3，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性与零点的个数判断，属于中档题．