Question

20．某棱锥的表面展开图是如图所示的一个边长为4的正方形和四个正三角形，则该棱锥的体积等于$\frac{32\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根据表面展开图可知棱锥的所有棱长均为4，做出棱锥的高PO，利用勾股定理计算PO，即可得出棱锥的体积．

解答 解：由棱锥的表面展开图可知棱锥为正四棱锥P-ABCD，底面边长与侧棱长均为4，
做棱锥的高PO，则O为底面正方形的中心，OA=2$\sqrt{2}$．
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PO$=$\frac{1}{3}×{4}^{2}×2\sqrt{2}$=$\frac{32\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{{32\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于中档题．