Question

10．已知函数f（x）=|$\frac{1}{x}-$1|．
（1）若0＜a＜b且f（a）=f（b），求y=a-$\frac{2}{b}$的取值范围；
（2）若存在正实数a、b使得函数f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（1）=0，0＜a＜1，b＞1，由f（a）=f（b）得出a、b的关系，再利用基本不等式即可求得取值范围；
（2）由函数y=f （x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，得a，b∈（1，+∞），
由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|$\frac{1}{x}-$1|，
∴f（1）=0，0＜a＜1，b＞1，且$\frac{1}{a}$-1=-（$\frac{1}{b}$-1）；
化简得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2，即$\frac{a+b}{ab}$=2，即a+b=2ab，∴b=$\frac{a}{2a-1}$；
∴a-$\frac{2}{b}$=a-$\frac{2（2a-1）}{a}$=a+$\frac{2}{a}$-4；
当0＜a＜1时，a+$\frac{2}{a}$＞3，
∴a+$\frac{2}{a}$-4＞-1，
即y=a-$\frac{2}{b}$的取值范围是（-1，+∞）；
（2）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ma，mb]（m≠0）；
由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0；
由（I）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，
故只能是a，b∈（1，+∞）；
∵f（x）=1-$\frac{1}{x}$在∈（1，+∞）上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ma}\\{f（b）=mb}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{a}=ma}\\{1-\frac{1}{b}=mb}\end{array}\right.$，
∴a，b是方程mx²-x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4m＞0}\\{m-1+1＞0}\\{\frac{1}{2m}＞1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{4}$，
故实数m的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了函数与方程的综合应用问题，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，是综合性较强的题目．