Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知得2a=8，2a+2c=12，由此能求出椭圆方程．
（2）设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=

1

4

x2+8，由此能求出

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由已知得2a=8，2a+2c=12，
解得a=4，c=2，
∴b²=16-4=12，
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）∵椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
∴F₁（-2，0），F₂（2，0），
设P（x，y），
则

PF1

•

PF2

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）
=x²+y²-4
=x²+12-

3

4

x2-4
=

1

4

x2+8，
∵x∈[-4，4]，∴x²∈[0，16]，
∴8≤

PF1

•

PF2

≤12，
点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值8，
点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值12．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查

PF1

•

PF2

的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．