Question

13．在数列{a_n}中，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=|（3n-10）（n²-n）a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1．可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，即可证明．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=-n，可得S_n=-$\frac{1}{n}$．n≥2时，a_n=S_n-1S_n=$\frac{1}{n（n-1）}$．即可的出．
（3）b_n=|（3n-10）（n²-n）a_n|，可得n=1时，b₁=0，n≥2时，b_n=|3n-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-3n，n=2，3}\\{3n-10，n≥4}\end{array}\right.$，对n分类讨论即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1．
∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，首项为-1，公差为-1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
∴n≥2时，a_n=S_n-1S_n=$\frac{1}{n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）解：∵b_n=|（3n-10）（n²-n）a_n|，
∴n=1时，b₁=0，
n≥2时，b_n═|（3n-10）（n²-n）$\frac{1}{n（n-1）}$|=|3n-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-3n，n=2，3}\\{3n-10，n≥4}\end{array}\right.$，
∴T₁=0，T₂=0+10-6=4，T₃=0+4+1=5．
n≥4时，数列{b_n}的前n项和T_n=5+（3×4-10）+（3×5-10）+…+（3n-10）
=5+$\frac{n（-7+3n-10）}{2}$-（-7-4-1）
=$\frac{3{n}^{2}-17n}{2}$+17．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{4，n=2}\\{5，n=3}\\{\frac{3{n}^{2}-17n}{2}+n，n≥4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其求和公式、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．