Question

8．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点M的极坐标为（$\sqrt{10}$，$\frac{π}{4}$），圆C的极坐标方程ρ=asinθ，且点M在圆C上，直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t为参数），
（Ⅰ）求a的值及圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （I）由点M在圆C上，代入圆的方程可得$\sqrt{10}$=asin$\frac{π}{4}$，解得a．可得圆C的极坐标方程，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），在直线l上．把直线l的参数方程代入圆的方程：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（I）∵点M的极坐标为（$\sqrt{10}$，$\frac{π}{4}$），圆C的极坐标方程ρ=asinθ，且点M在圆C上，
∴$\sqrt{10}$=asin$\frac{π}{4}$，解得a=2$\sqrt{5}$．
∴圆C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{5}$y．
（II）点P的坐标为（3，$\sqrt{5}$），在直线l上．
把直线l的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}$（t为参数），代入圆的方程：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
∴t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁•t₂=4，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．