Question

18．若函数f（x）=1+sinx-x在区间[-6，6]上的值域是[n，m]，则n+m=（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 6

Answer 1

分析 本题要求的是函数最大值与最小值的和，由函数的解析式，可通过研究函数的对称性来探究解题的思路，故可先求出f（-x），再与函数f（x）=1+sinx-x进行比较，总结规律，再由本题中所求的m+n的值是一个定值，采用特殊值法求出答案．

解答 解：∵f（x）=1+sinx-x
∴f（-x）=1-sinx+x
f（x）+f（-x）=2…①
又本题中f（x）=1+sinx-x
在区间[-6，6]上的值域为[m，n]，
即无论x取什么样的实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，
∴可令x=k，故m+n=f（k）+f（-k）．
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=2．
故选C

点评 本题是双重函数问题，一个隐蔽的函数性成立的问题，sinx是周期性函数，解题的关键一是意识到m+n是一个定值，再就是根据所给区间[-6，6]关于原点对称，联想到研究f（x）+f（-x）的值，这是本题解题的重点，难点是领会到m+n是一个定值，本题考查了推理判断的能力，比较抽象，注意领会本题做题中的经验技巧和发散思维．