Question

【题目】已知函数f(x)＝ln x－a(x－1)，g(x)＝ex.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数h(x)＝f(x＋1)＋g(x)，当x>0时，h(x)>1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）(－∞，2]

【解析】分析：（1）由函数，求得，分类讨论即可求解函数的单调区间；

（2）因为，所以，令，求得，得到单调性和最值，即可求解．

详解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)..

①若a≤0，对任意的x>0，均有f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；.

②若a>0，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为...

综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区

当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为

(2)因为h(x)＝f(x＋1)＋g(x)＝ln (x＋1)－ax＋ex，所以

h′(x)＝ex＋－a..

令φ(x)＝h′(x)，因为x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝ex－＝＞0.

所以h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝2－a，

①当a≤2时，h′(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝1恒成立，符合题意；.

②当a>2时，h′(0)＝2－a<0，h′(x)>h′(0)，所以存在x0∈(0，＋∞)，使得h′(x0)＝0..

所以h(x)在(x0，＋∞)上单调递增，在(0，x0)上单调递减，又h(x0)<h(0)＝1，所以h(x)＞1不恒成立，不符合题意．

综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．