Question

（本题满分13分）已知函数的图象在点处的切线的斜率为2．

（Ⅰ）求实数的值;

（Ⅱ）设,讨论的单调性;

（Ⅲ）已知且,证明:

Answer 1

（Ⅰ）1；（Ⅱ） g（x）在区间（0,1）和都是单调递增的

【解析】

试题分析：（Ⅰ）所以 1分

由题意,得m=1 3分

（Ⅱ），所以 4分

设

当x>1时，，h（x）是增函数，，

所以，故g（x）在上为增函数； 5分

当0<x<1时，，h（x）是减函数，，

所以，故g（x）在（0,1）上为增函数；

所以g（x）在区间（0,1）和都是单调递增的。 8分

（Ⅲ）因为，由（Ⅱ）知成立，即， 9分

从而，即 12分

所以． 13分

考点：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线的切线方程