Question

【题目】已知函数.

（1）若在其定义域上单调递减，求的取值范围；

（2）证明：在区间恰有一个零点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

(1) ,如果单调递减，则当时，恒成立,可求出答案.
(2) 当时，由于在区间单调递减，且，，命题成立. 当时，由于,方程在区间有唯一的实根，从而在区间单调递减，在区间单调递增，可以讨论得到命题的证明.

（1）由于的定义域为，且，所以如果单调递减，则当时，恒成立，解得，即的取值范围为.

（2）（i）当时，由于在区间单调递减，且，

，所以区间恰有一个零点；

（ii）当时，由于，

由，设，

对称轴为，，且.

所以方程在区间有唯一的实根，

从而在区间单调递减，在区间单调递增，注意到，

所以区间的零点个数不超过1个.

①当时，由于，所以区间恰有一个零点；

②当时，由于，所以区间恰有一个零点.

综上，在区间恰有一个零点.