Question

10．已知S_n，T_n分别为数列{log₂（1+$\frac{1}{n}$）}与{$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$}的前n项和，若S_n+T_n＞134，则n的最小值为127．

Answer 1

分析 求得log₂（1+$\frac{1}{n}$）=log₂$\frac{n+1}{n}$=log₂（n+1）-log₂n，运用裂项相消求和可得S_n=log₂（n+1）；由$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，运用等比数列的求和公式可得T_n=n+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．再由构造数列f（n）=log₂（n+1）+n+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，判断单调性，即可得到所求最小值．

解答 解：log₂（1+$\frac{1}{n}$）=log₂$\frac{n+1}{n}$=log₂（n+1）-log₂n，
则S_n=log₂2-log₂1+log₂3-log₂2+log₂4-log₂3+…+log₂（n+1）-log₂n
=log₂（n+1）；
$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n}}$=1+（$\frac{1}{2}$）ⁿ，可得T_n=n+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=n+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
S_n+T_n＞134，即为log₂（n+1）+n+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＞134，
由f（n）=log₂（n+1）+n+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ在n∈N^*递增，
且f（127）=log₂128+128-（$\frac{1}{2}$）¹²⁷=135-（$\frac{1}{2}$）¹²⁷∈（134，135），
即有n的最小值为127．
故答案为：127．

点评 本题考查数列的求和方法：裂项相消求和和分组求和，考查不等式的解法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．