Question

已知

a

，

b

为平面向量，且|

a

|=

3

，|

b

|=2，

a

，

b

的夹角为30°．
（Ⅰ）求|

a

+

b

|及|

a

-

b

|；
（Ⅱ）若向量

a

+

b

与

a

-λ

b

垂直，求实数λ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用数量积定义和运算性质即可得出；
（II）由向量

a

+

b

与

a

-λ

b

垂直，可得（

a

+

b

）•（

a

-λ

b

）=

a

2-λ

b

2+(1-λ)

a

•

b

=0，代入解出即可．

解答： 解：（I）∵|

a

|=

3

，|

b

|=2，

a

，

b

的夹角为30°，
∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos30°=

3

×2×

3

2

=3，
∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

3+4+2×3

=

13

；
|

a

-

b

|=

a 2+ b 2-2 a • b

=

3+4-2×3

=1．
（II）∵向量

a

+

b

与

a

-λ

b

垂直，
∴（

a

+

b

）•（

a

-λ

b

）=

a

2-λ

b

2+(1-λ)

a

•

b

=0，
∴3-4λ+3（1-λ）=0，解得λ=

6

7

．

点评：本题考查了数量积定义和运算性质、向量垂直于数量积的关系，属于基础题．