Question

已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，求证：PH⊥平面ABC．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：延长BH交AC于F，延长CH交AB于E，先通过线面垂直的判定定理证明出CA⊥平面PFB，根据线面垂直的性质证明出PH⊥AC，同理推断出PH⊥AB，最后根据线面垂直的判定定理证明出PH⊥平面ABC．

解答：
证明：延长BH交AC于F，延长CH交AB于E，
∵PB⊥PA，PB⊥PC，
∴PB⊥平面PAC，
∵BF⊥AC，
∴PF⊥AC，
∴CA⊥平面PFB，
∵PH?平面PFB，
∴PH⊥AC，
同理可证PH⊥AB，
∵AC?平面ABC，AB?平面ABC，AB∩AC=A，
∴PH⊥平面ABC．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理和线面垂直的性质．要求学生对基础定理能熟练记忆并灵活运用．