Question

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=2x，h（x）=lnx，φ（x）=x³（x≠0）的“新驻点”分别为a、b、c，则a、b、c由大到小排列为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：函数g（x）=2x，可得g′（x）=2，由g（x）=g′（x），可得a=1．h（x）=lnx，可得h′(x)=

1

x

，由lnx=

1

x

，x＞0．令u（x）=lnx-

1

x

（x≥1），可知函数u（x）单调递增，
由于u（1）u（2）＜0，可得函数u（x）的唯一零点b∈（1，2）．φ（x）=x³（x≠0），φ′（x）=3x²，由x³=2x²（x≠0），可得c=2．

解答： 解：函数g（x）=2x，可得g′（x）=2，由2x=2，解得x=1，∴a=1．
h（x）=lnx，可得h′(x)=

1

x

，由lnx=

1

x

，x＞0．令u（x）=lnx-

1

x

（x≥1），可知函数u（x）单调递增，u（1）=-1．，u（2）=ln2-

1

2

＞ln

e

-

1

2

=0，
∴函数u（x）的唯一零点b∈（1，2）．
φ（x）=x³（x≠0），φ′（x）=3x²，由x³=2x²（x≠0），解得x=2．即c=2．
综上可得：c＞b＞a．
故答案为：c，b，a．

点评：本题考查了导数的运算法则、新定义“驻点”、函数零点的判定定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．