Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC₁上，已知AB=AC，AA₁=3，BC=CF=2
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）若点M在棱BB₁上且BM=1，求证：平面ACM⊥平面ADF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AD、CE并相交于O点，连接OF，则OF为平面CEC1与平面ADF的相交线，由已知条件推导出OF∥C₁E，由此能证明C₁E∥平面ADF．
（2）平面BCC₁B₁∩平面ADF=DF，平面BCC₁B₁∩平面ACM=CM，由已知条件推志导△CBM≌△FCD，从而得到DF⊥CM，由此能证明平面ACM⊥平面ADF．

解答： （1）证明：连接AD、CE并相交于O点，
连接OF，则OF为平面CEC1与平面ADF的相交线，
在△ABC中，D、E分别是BC、AB的中点
则O点为△ABC的重心，即 OC=2OE

OC

CE

=

3

2

，
又CC₁=AA₁=3，CF=2，

CF

CC1

=

2

3

，
在△ECC₁、△COF中，

CF

CC1

=

OC

CE

，
∴OF∥C₁E，
∵OF?平面ADF，C₁E不包含于平面ADF，
∴C₁E∥平面ADF．
（2）∵平面BCC₁B₁∩平面ADF=DF，
平面BCC₁B₁∩平面ACM=CM，
∵BC=CF=2，D是棱BC的中点，BM=1，
∠CBM=∠FCD=90°，
∴△CBM≌△FCD，∴∠BCM=∠CFD，
∴DF⊥CM，
∴平面ACM⊥平面ADF．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．