Question

式子（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展开式中第4项为常数项，且常数项为T，则：

∫	(T+1)π (T+ 1 2 )π

sinxdx=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,定积分

专题：二项式定理

分析：由展开式中第4项为

C

3 n

•x

n-5

2

是常数项，求得n=5，可得常数项为

C

3 5

=10=T，要求的式子可化为-cosx

|

11π 11π 2

，计算求得结果．

解答： 解：∵式子（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展开式中第4项为

C

3 n

•x

n-5

2

 是常数项，
∴n=5，故常数项为

C

3 5

=10=T，
∴：

∫	(T+1)π (T+ 1 2 )π

sinxdx=

∫

11π 11π 2

 sinxdx=-cosx

|

11π 11π 2

=-（cos11π-cos

11π

2

）=-（cosπ-cos

π

2

）
=cos

π

2

-cosπ=0-（-1）=1，
故答案为：1．

点评：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．