Question

已知在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是A₁C₁，A₁D和B₁A上任一点，求证：平面A₁EF∥平面B₁MC．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：建立坐标系，求出平面A₁EF、平面B₁MC的法向量，即可证明结论．

解答： 证明：建立如图所示的坐标系，则

A1C1

=（-1，1，0），

B1C

=（-1，0，-1），

A1D

=（1，0，1），

B1A

=（0，-1，-1），
设

A1E

=λ

A1C1

，

A1F

=μ

A1D

，

B1M

=ω

B1A

，
设

m

=（x，y，z）为平面A₁EF的法向量，则

-x+y=0 x+z=0

，
∴

m

=（1，1，-1）；
同理平面B₁MC的法向量为

n

=（-1，-1，1），
∴

m

=-

n

，
∴

m

∥

n

，
∴平面A₁EF∥平面B₁MC．

点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查向量法的运用，求出平面的法向量是关键．