Question

已知函数f（x）=（a-

1

2

）x²+lnx（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）证明：当a∈(0，

1

2

]时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；
（2）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立?g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．利用导数研究函数的单调性即可得出g（x）大值．

解答： （1）解：当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

，
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，
∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴f(x)max=f(e)=1+

e2

2

，f(x)min=f(1)=

1

2

．
（2）证明：令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，x∈（1，+∞），
在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立?g（x）_max＜0，x∈（1，+∞）．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

，
∴当a∈(0，

1

2

]时，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
∴g（x）＜g（1），又g(1)=-a-

1

2

＜0，
∴g（x）＜0，即f（x）＜2ax恒成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了构造函数法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．