Question

已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+

1

2

c=a．
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求ac的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简后，根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的大小；
（2）利用余弦定理列出关系式，将B的度数及b的值代入列出a与c的关系式，再利用基本不等式即可求出ac的最大值．

解答： 解：（1）由bcosC+

1

2

c=a和正弦定理得：sinBcosC+

1

2

sinC=sinA，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴

1

2

sinC=cosBsinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=

1

2

，
则B=

π

3

；
（2）∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=cos

π

3

=

1

2

，b=1，
∴a²+c²-1=ac，
∵a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时取等号），
∴a²+c²-1=ac≥2ac-1，即ac≤1，
则ac的最大值为1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．