Question

在数列{a_n}中，a₁=1023，

1

1+an+1

-

1

1+an

=

1

1024

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_k=k•a 2k（k∈N^*），记数列{b_k}的前k项和为B_k，求B_k的最大值和相应k的值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由

1

1+an+1

-

1

1+an

，知{

1

1+an

}是公差为

1

1024

的等差数列，可求

1

1+an

，进而可求a_n；
（2）由（1）可求b_k，由b_k≥0可得B_k最大时的k值，运用分组求和、错位相减法可求得B_k；

解答： 解：（1）由

1

1+an+1

-

1

1+an

=

1

1024

（n∈N^*），知
{

1

1+an

}是公差为

1

1024

的等差数列，首项为

1

1+a1

=

1

1024

，
∴

1

1+an

=

1

1024

+(n-1)•

1

1024

=

n

1024

，
∴an=

1024

n

-1；
（2）bk=k•(

1024

2k

-1)=

k

2k-10

-k，
由b_k≥0得

1024

2k

-1≥0，解得1≤k≤10，且b10=10(

1024

210

-1)=0，故B₉或B₁₀最大，
B₉=（

1

2-9

-1）+（

2

2-8

-2）+…+（

9

2-1

-9）=（

1

2-9

+

2

2-8

+…+

9

2-1

）-（1+2+…+9）
S=

1

2-9

+

2

2-8

+…+

9

2-1

=2⁹+2•2⁸+…+9•2①，

1

2

S=2⁸+2•2⁷+…+9②，
①-②得

1

2

S=2⁹+2⁸+2⁷+…+2-9=

2(1-29)

1-2

-9=1013，
∴S=2026，
∴B₉=2026-（1+2+…+9）=1981，
∴B_k的最大值为1981，最大时k=9或10．

点评：该题考查由数列递推式求数列通项、数列的求和，考查学生的运算求解能力，考查分组求和、错位相减法求和．