Question

【题目】已知双曲线C1： ．
（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4， ）的双曲线C2的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当 =3时，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵双曲线C1： ，

∴焦点坐标为（ ，0），（ ，0）

设双曲线C2的标准方程为 （a＞0，b＞0），

∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4， ）

∴ ，解得

∴双曲线C2的标准方程为

（2）解：双曲线C1的两条渐近线为y=2x，y=﹣2x

由 ，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）

由 ，可得x=﹣ m，y= m，∴B（﹣ m， m）

∴

∵

∴m2=3

∴

【解析】（1）先确定双曲线C1： 的焦点坐标，根据双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4， ），建立方程组，从而可求双曲线C2的标准方程；（2）直线方程与双曲线C1的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，利用数量积，即可求得实数m的值．