Question

【题目】已知函数 (是常数),

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数有零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析;（Ⅱ）或.

【解析】试题分析：

(1)首先求解导函数，然后结合参数的范围分类讨论即可得到函数的单调区间；

(2)结合(1)的结论讨论函数的最值，结合题意得到关于实数a的不等式，求解不等式可得的取值范围是或.

试题解析：

（1） 根据题意可得，当时， ,函数在上是单调递增的，在上是单调递减的，

当时， ,因为,

令，解得或

①当时，函数在， 上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；

②当时，函数在上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；

综上所述，当时，函数的单调递增区间，递减区间为；

当时，函数的单调递减区间为，递增区间为；

当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；

（1）①当时， 可得，故可以；

②当时，函数的单调递减区间为，递增区间为，

（Ⅰ） 若，解得；

可知： 时， 是增函数， 时， 是减函数，

由在上；

解得，所以；

（Ⅱ）若，解得；

函数在上递增，

由，则，解得

由，即此时无解，所以；

③当时，函数在上递增，类似上面时，此时无解，

综上所述， 或.