Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（ I）判断f（x）的奇偶性；
（ II）求证：f（x）+f（ ）为定值；
（III）求 + + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函数f（x）= ．
∴函数f（x）= 的定义域R，定义域关于原点对称．
又 ，
∴f（x）是偶函数．…（4分）
证明：（Ⅱ）∵ ，
∴ 为定值．
解：（Ⅲ）由（II）知 ，
+ + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）
=
=0+f（1）=0．
【解析】（I）先求出函数f（x）的定义域关于原点对称，再由f（﹣x）=f（x），得到f（x）是偶函数．（Ⅱ）推导出f（ ）=﹣f（x），由此能证明 为定值．（Ⅲ）由 ，能求出 + + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，以及对函数的值的理解，了解函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．