Question

已知f（x）=ax-cos²x，x∈[

π

8

，

π

6

]，若?x₁∈[

π

8

，

π

6

]，?x₂∈[

π

8

，

π

6

]，x₁≠x₂，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先确定函数f（x）在区间[

π

8

，

π

6

]上f′（x）＜0，再求导函数，利用分离参数法，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：∵对区间[

π

8

，

π

6

]上的任意x₁，x₂，且x₁＜x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0成立，
∴函数f（x）在区间[

π

8

，

π

6

]上f′（x）≤0，
∵f（x）=ax-cos²x，
∴f′（x）=a-2cosx（-sinx）=a+sin2x，
∴a+sin2x≤0即a≤-sin2x恒成立，
又∵x∈[

π

8

，

π

6

]，-sin2x∈[-

3

2

，-

2

2

]
∴a≤-

3

2

故答案为：a≤-

3

2

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数f（x）在区间（0，1）上f′（x）＞1是解题的关键．