Question

有以下四个命题：
①函数f（x）=sin（

π

3

-2x）的一个增区间是[

5π

12

，

11π

12

]；
②函数f（x）=sin（?x+φ）为奇函数的充要条件是φ为π的整数倍；
③对于函数f（x）=tan（2x+

π

3

），若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂必是π的整数倍；
④函数f（x）=cos2x-sin2x，当x∈[

π

2

，π]时，f（x）的零点为（

5π

8

，0）；
⑤y=cos|x+

π

3

|最小正周期为π；
其中正确的命题是

 

．（填上正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①利用函数f（x）=sin（

π

3

-2x）的一个增区间，判断增区间是否是[

5π

12

，

11π

12

]，得到①正确；
②直接判断函数f（x）=sin（ωx+φ）为奇函数，则φ为π的整数倍，得到②正确；
③对于函数f（x）=tan（2x+

π

3

），利用f（x₁）=f（x₂），推出则x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，得到③不正确；
④令f（x）=cos2x-sin2x=0，当x∈[

π

2

，π]时，得到f（x）的零点为x=

5π

8

，得到④不正确；
⑤由y=cos|x+

π

3

|=cos（x+

π

3

）知，得到⑤不正确．

解答： 解：①因为函数f（x）=sin（

π

3

-2x）的单调增区间即求y=sin（2x-

π

3

）的递减区间，
由y=sin（2x-

π

3

）的递减区间2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z，
则它的一个增区间是[

5π

12

，

11π

12

]，所以①正确；
②若函数f（x）=sin（ωx+φ）为奇函数，则φ为π的整数倍，所以②正确；
③对于函数f（x）=tan（2x+

π

3

），若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂必是

π

2

的整数倍，所以③错；
④f（x）=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），令f（x）=0，得

2

cos（2x+

π

4

）=0，
又由x∈[

π

2

，π]时，则

5π

4

≤2x+

π

4

≤

9π

4

，∴2x+

π

4

=

3π

2

，∴x=

5π

8

，
即函数f（x）的零点是x=

5π

8

，但不是点（

5π

8

，0），所以④错；
对于⑤：由y=cos|x+

π

3

|=cos（x+

π

3

）知函数y=cos|x+

π

3

|周期为2π，所以⑤错．
故答案为：①②

点评：本题考查三角函数的有关性质，利用基本函数的基本性质解答问题，是解好数学问题的关键．