Question

【题目】设函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，证明：方程有且仅有3个不同的实数根.（附：，，）

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）先对函数求导，分类讨论和两种情况，即可得出结果；

（2）将代入函数解析式，得到，根据(1)中结果，得到函数单调性，求出函数极值，即可得出结果.

解：（1）由，

得，

令，

所以，

所以当时，，恒成立，

即恒成立，

所以单调递增；

当时，，此时方程有两个不相等的根，，不妨设，

令 ，

所以，，

所以当时，，

即，所以单调递增；

当时，，

即，所以单调递减；

当时，，

即，所以单调递增.

综上，当时，在上单调递增；

当时，的单调递增区间为，；的单调递减区间为.

（2）当时，，

由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数有极大值，且 ，

当时，函数有极小值，

且 .

又因为，，

所以直线与函数的图象在区间上有且仅有3个交点，

所以当时，方程有且仅有3个不同的实数根.