Question

6．已知{a_n}的前n项之和S_n=n²+n，数列{b_n}的通项公式为b_n=x^n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 根据数列{a_n}的前n项之和公式，观察可知是等差数列，求得a₁=2，d=2，求得a_n，写出c_n的通项公式，再利用乘x，错位相减，求T_n．

解答 解：（1）由S_n=n²+n可知a₁=2，数列{a_n}是等差数列d=2，
∴a_n=2n；
（2）c_n=2nx^n-1
T_n=2+4x+6x²+8x³+…+2nx^n-1，①
则xT_n=2x+4x²+6x³+8x⁴+…+2nxⁿ，②
①-②，得（1-x）T_n=2+2x+2x²+…+2x^n-1-2nxⁿ，
当x≠1时，（1-x）T_n=2×$\frac{1-{x}^{n}}{1-x}$-2nxⁿ
T_n=$\frac{2-2（n+1）{x}^{n}+2n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$
当x=1时，T_n=2+4+6+8+…+2n=n²+n．
总上可知，
$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+n}&{n=1}\\{\frac{2-2（n+1）{x}^{n}+2n{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}}&{n≠1}\end{array}\right.$
T_n=

点评 本题考查等差数列求通项公式，求数列的前n项和采用错位相减法，属于中档题．