Question

1．已知向量$\overrightarrow{OA}$=a$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，且A、B、C三点共线，则二项式（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁸的展开式中x²项的系数是1120．

Answer 1

分析 根据共线定理，求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x²项的系数．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OA}$=a$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，且A、B、C三点共线，
∴a+（-1）=1，
解得a=2；
∴二项式（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁸展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（2x）^8-r•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•2^8-r•${C}_{8}^{r}$•${x}^{8-\frac{3r}{2}}$，
令8-$\frac{3}{2}$r=2，
解得r=4；
∴展开式中x²项的系数是2⁴×${C}_{8}^{4}$=1120．
故答案为：1120．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．