Question

16．设集合M={（x，y）|$\frac{1}{\sqrt{x}}$$-\frac{1}{\sqrt{y}}$=$\frac{1}{\sqrt{45}}$，x，y∈N^*}，则集合M中的元素个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{y}}$=$\frac{1}{\sqrt{45}}$，可得：$\sqrt{x}$=$\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{y}}{3\sqrt{5y}}$，两边平方化为：x=$\frac{45y}{45+y+6\sqrt{5y}}$，令y=5k²，k∈N^*，则x=$\frac{45{k}^{2}}{（k+3）^{2}}$=$\frac{45}{（1+\frac{k}{3}）^{2}}$，对k取值即可得出．

解答 解：由$\frac{1}{\sqrt{x}}$-$\frac{1}{\sqrt{y}}$=$\frac{1}{\sqrt{45}}$，可得：$\sqrt{x}$=$\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{y}}{3\sqrt{5y}}$，
两边平方化为：x=$\frac{45y}{45+y+6\sqrt{5y}}$，令y=5k²，k∈N^*，
则x=$\frac{45{k}^{2}}{（k+3）^{2}}$=$\frac{45}{（1+\frac{k}{3}）^{2}}$，可知：只有k=6，时，x=20，y=180，满足条件．
∴集合M中的元素个数为1．
故选：B．

点评 本题考查了集合的运算性质、代数式的化简、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．