Question

【题目】已知函数.

（1）证明函数在上是减函数，上是增函数；

（2）若方程有且只有一个实数根，判断函数的奇偶性；

（3）在（2）的条件下探求方程的根的个数.

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）为偶函数；（3）时只有一解，时有两解.

【解析】

试题分析：（1）函数，利用函数单调性定义进行证明，设的上任意两个不等的实数，且，则，

，由于，所以，则，所以函数在区间上单调递减，同理可证在区间单调递增；（2）方程等价于方程有且只有一个实数根，则，因为，所以，则此时函数，，易证明函数为奇函数；（3）在（2）的条件下，即，根据第（2）证明所得的单调性可知，当 即时只有一解 ，当 即时有两解.

试题解析：（1）由题意： 任取且使

则

在上是减函数

同理可证 在 上是增函数

（2）由题意知方程有且只有一个实数根

又

此时，

又的定义域为关于原点对称，

且，

是奇函数

（3）由（2）知可化为

又由（1）（2）知：

当 即时只有一解

当 即时有两解

综上，当时只有一解；

当时有两解；