Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的性质f（0）=0求b的值．
（2）利用定义证明，即取值、作差、变形判断符号、下结论．
（3）结合（1），（2）的性质进行化简，最终解一个关于t的不等式．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即

b-1

2+2

=0，所以b=1，所以f(x)=

1-2x

2+2x+1

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

．
因为函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，所以2x2-2x1＞0，
又(2x1+1)(2x2+1)＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在R上为减函数．
（3）因为f（x）为奇函数，所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化为
f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式得：t²-2t＞k-2t²，即对一切t∈R，有：
3t²-2t-k＞0．
从而△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．

点评：本题综合考查了函数的单调性、奇偶性的定义，以及不等式的恒成立问题的处理方法，一般要转化为函数的最值求解．