精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f(x)在(-1,1)上有定义,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f,试证明:
(1)f(x)为奇函数;
(2)f(x)在(-1,1)上单调递减.

证明:(1)由f(x)+f(y)=f,令x=y=0,得f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f=f(0)=0.
∴f(x)=-f(-x),即f(x)为奇函数.
(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减.
令0<x1<x2<1,
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)
=f,
∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,
∴>0,
又∵(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0,
∴x2-x1<1-x2x1
∴0<<1,由题意知f<0,
即f(x2)<f(x1).
∴f(x)在(0,1)上为减函数,又f(x)为奇函数且f(0)=0,
∴f(x)在(-1,1)上为减函数.

解析

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知函数
(Ⅰ)当  时,求函数  的最小值;
(Ⅱ)当  时,讨论函数  的单调性;
(Ⅲ)求证:当 时,对任意的 ,且,有

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(1)已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(2)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(3)在(1)(2)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a<0)不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设函数
(Ⅰ)若函数处取得极小值是,求的值;  
(Ⅱ)求函数的单调递增区间;
(Ⅲ)若函数上有且只有一个极值点, 求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(14分)函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且
(1)求函数的解析式;
(2)利用定义证明在(-1,1)上是增函数;
(3)求满足的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分12分)函数f(x)=(a〉0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知关于x的二次方程
(1)若方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,求m的取值范围
(2)若方程两根均在区间内,求m的取值范围       

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数在闭区间上的最大值记为
(1)请写出的表达式并画出的草图;
(2)若, 恒成立,求的取值范围.

 
  
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案